组合数公式和性质

文/孔雀鱼
专题:

一、组合数公式和性质

1、组合

一般地,从$n$个不同元素中取出$m(m\leqslant n)$个元素合成一组,叫做从$n$个不同元素中取出$m$个元素的一个组合。

2、组合数与组合数公式

(1)组合数

从$n$个不同元素中取出$m(m\leqslant n)$个元素的所有不同组合的个数,叫做从$n$个不同元素中取出$m$个元素的组合数,用符号$C^m_n$表示。

(2)组合数公式

${\rm C}^m_n=$$\frac{{\rm A}^m_n}{{\rm A}^m_m}=$$\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-m+1)}{m!}$,$n,m∈\mathbf{N}^*$,并且$m\leqslant n$。

组合数公式还可以写成:${\rm C}^m_n=\frac{n!}{m!(n-m)!}$,规定${\rm C}^0_n=1$。

(3)组合数的性质

性质1:${\rm C}^m_n={\rm C}^{n-m}_n$。

性质2:${\rm C}^m{n+1}={\rm C}^m_n+C^{m-1}n$。

3、排列与组合的联系与区别

联系:排列与组合问题都是“从$n$个不同元素中取出$m$个元素”。

区别:组合问题与取出的元素顺序无关,而排列是把取出的元素再按顺序排列成一列,它与取出元素的顺序有关。

排列:不仅要取出元素,还要按照顺序排列。

组合:只取不排。

二、组合数公式的相关例题

五经是指:《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》,记载了我国古代早期思想文化发展史上政治、军事、外交,文化等各个方面的史实资料,在中国传统文化的诸多文学作品中,占据相当重要的位置。学校古典研读社的三名学生,到学校图书馆借了一套五经书籍共5本进行研读,若每人至少分1本,则5本书的分配方案种数是___

A.360 B.240 C.150 D.90

答案:C

解析:第一步,将5本书分为两类:$(2,2,1)$和$(3,1,1)$,则分类方法有$\frac{{\rm C}^2_5{\rm C}^2_3}{{\rm A}^2_2}+{\rm C}^3_5$种;第二步,分配给三名学生,有${\rm A}^3_3$种分法;由分步乘法计数原理得所求种数为$\left(\frac{{\rm C}^2_5{\rm C}^2_3{\rm C}^1_1}{{\rm A}^2_2}+{\rm C}^3_5\right){\rm A}^3_3=150$,故选C。

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