指数函数的概念和结构特征

文/曹锦林
专题:

一、指数函数的概念和结构特征

1、定义:一般地,函数$y=a^x$($a>0$,且$a≠1$)叫做指数函数,其中$x$是自变量,函数的定义域是$\mathbf{R}$。

2、结构特征

(1)底数:$a$是大于0,且不等于1的常数。

(2)指数:自变量$x$。

(3)系数:$a^x$的系数为1。

3、指数函数的性质

指数函数$y=a^x$

(1)当$0<a<1$时

①定义域为$\mathbf{R}$;

②值域为$(0,+∞)$;

③性质:恒过定点$(0,1)$,即$x=0$时,$y=1$;

在$\mathbf{R}$上是减函数;当$x>0$时,$0<y<1$;当$x=0$时,$y=1$;当$x<0$时,$y>1$。

(2)当$a>1$时

①定义域为$\mathbf{R}$;

②值域为$(0,+∞)$;

③性质:恒过定点$(0,1)$,即$x=0$时,$y=1$;

在$\mathbf{R}$上是增函数;当$x>0$时,$y>1$;当$x=0$时,$y=1$;当$x<0$时,$0<y<1$。

4、底数对图象的影响

(1)由指数函数$y=a^x$与直线$x=1$相交于点$(1,a)$可知:在$y$轴右侧,图象从下到上相应的底数由小变大。

(2)由指数函数$y=a^x$与直线$x=-1$相交于点$\left(-1,\frac{1}{a}\right)$可知:在$y$轴左侧,图象从下到上相应的底数由大变小。

(3)指数函数的底数与图象间的关系可概括的记忆为:在$y$轴右边“底大图高”;在$y$轴左边“底大图低”。

5、指数函数具有反函数,其反函数是对数函数。

二、指数函数的概念的相关例题

下列函数不是指数函数的是____

A.$y=2^{x+1}$

B.$y=3^{-x}$

C.$y=4^x$

D.$y=2^{3x}$

答案:A

解析:指数函数是形如$y=a^x ( a>0$且$a≠1$ )的函数。对于A:$y=2^{x+1}=2×2^x$,系数不是1,所以不是指数函数;对于B:$y=3^{-x}=\left(\frac{1}{3}\right)^x$,符合指数函数的定义,所以是指数函数;对于C:$y=4^x$,符合指数函数的定义,所以是指数函数;对于D:$y=2^{3x}=8^x$, 符合指数函数的定义,所以是指数函数。故选A。

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