专题:
一、相等函数的定义域和值域
1、如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等。
2、定义域
函数的定义域是自变量$x$的取值集合，它是函数的重要组成部分。
求函数定义域的注意事项
（1）分式的分母不为0；
（2）偶次根式的被开方数大于等于0；
（3）零次幂的底数不为0；
（4）实际问题中自变量的取值范围；
（5）多个式子构成的函数，其定义域要满足每个式子都有意义。
3、值域
（1）函数的值域是在对应关系$f$的作用下，自变量$x$在定义域内取值时相应的函数值组成的集合。
（2）求函数值域的注意事项
①当函数$y=f（x）$用表格给出时，函数的值域是表格中实数$y$的集合。
②当函数$y=f（x）$用图象给出时，函数的值域是图象在$y$轴上的投影所覆盖的实数$y$的集合。
③当函数$y=f（x）$用解析式给出时，函数的值域由函数定义域及对应关系唯一确定。
④当函数$y=f（x）$根据实际问题给出时，函数的值域受问题的实际意义限制。
二、相等函数的例题
下列函数中和函数$y=x$互为相等函数的是___
A．$y=\sqrt{x^2}$
B．$y=(\sqrt{x})^2$
C．$y=\frac{x^2}{x}$
D．$y=\ln {\rm e}^x$
答案：D
解析：函数$y=x$定义域为$\mathbf{R}$。
A.$y=\sqrt{x^2}=|x|$，表达式不同，不是相等函数；B.$y=(\sqrt{x})^2$，定义域为$[0,+∞)$ ，定义域不相同，不是相等函数；C.$y=\frac{x^2}{x}$，定义域为$(-∞,0)∪(0,+∞)$，定义域不相同，不是相等函数；D.$y=\ln {\rm e}^x=x$，定义域为$\mathbf{R}$，定义域和表达式都相同，是相等函数。故选D。