正态分布的定义和标准正态分布

一、正态分布的定义和标准正态分布

1、正态分布

一般地，如果对于任何实数$a$，$b$（$a<b$），随机变量$X$满足$P（a<X\leqslant b）$$\approx \int_{a}^{b} φ_{μ,σ}(x)\, {\rm d}x$，则称随机变量$X$服从正态分布。

正态分布完全由参数$μ$和$σ$确定，因此正态分布常记作$N$（$μ,σ^2$）。如果随机变量$X$服从正态分布，则记为$X\thicksim N（μ,σ^2）$。

若$X\thicksim N（μ,σ^2）$，则$X$的均值与方差分别为：$E(X)=μ,D(X)=σ^2$。

2、标准正态分布

如果随机变量$X$的概率函数为$φ(X)=\frac{1}{\sqrt{2π}}{\rm e}^{-\frac{x^2}{2}}$，$x∈(-∞,+∞)$，那么称$X$服从标准正态分布，即$X$~$N$（0，1）。

3、$3σ$原则

若$X$~$N$（$μ$，$σ^2$），则对于任何实数$a$>0，$P(μ-a<X≤μ+a)=\int_{μ-a}^{μ+a} φ_{μ,σ}(x)\, {\rm d}x$。

正态总体几乎总取值于区间$(μ-3σ,μ+3σ)$之内。而在此区间以外取值的概率只有0.002 7，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生。

在实际应用中，通常认为服从于正态分布$N$（$μ,σ$）的随机变量$X$只取$(μ-3σ,μ+3σ)$之间的值，并简称为$3σ$原则。

4、正态曲线

如果函数为$φ_{μ,σ}(x)$=$\frac{1}{\sqrt{2π}σ}$${\rm e}^{-\frac{(x-μ)^2}{2σ^2}}$，$x∈(-∞,+∞)$，其中实数$μ$和$σ(σ>0)$为参数。我们称$φ_{μ,σ}(x)$的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线。

5、正态曲线的特点

（1）曲线位于$x$轴上方，与$x$轴不相交；

（2）曲线是单峰的，它关于直线$x$=$μ$对称；

（3）曲线在$x$=$μ$处达到峰值$\frac{1}{σ\sqrt{2π}}$；

（4）曲线与$x$轴之间的面积为1。

（5）当$σ$一定时，曲线的位置由$μ$确定，曲线随着$μ$的变化而沿$x$轴平移；

（6）当$μ$一定时，曲线的形状由$σ$确定，$σ$越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；$σ$越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散。

二、正态分布的相关例题

在某项测量中，测量结果$ξ$服从正态分布$N(1，σ^2)(σ>0)$，若$ξ$在(0，2)内取值的概率为0. 8，则$ξ$在(0，1)内取值的概率为____

A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.8

答案：C

解析：∵$ξ$服从正态分布$N(1，σ^2 )(σ>0)$，

∴$μ$=1，又∵$P(0<ξ<2)$=0.8，∴$P(0<ξ<1)$=

$\frac{1}{2}P(0<ξ<2)$=0.4，故选C。