专题:
一、实数与向量相乘的定义和运算律
1、向量
既有大小又有方向的量叫向量。以$A$为起点、$B$为终点的向量记作：$\overrightarrow{AB}$或$\boldsymbol a$。
向量的两要素：大小和方向。
2、向量的数乘
（1）定义
一般地，我们规定实数$λ$与向量$\boldsymbol a$的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作$λ\boldsymbol a$。它的长度与方向规定如下：
① $|λ\boldsymbol a|=|λ||\boldsymbol a|$。
② 当$λ=0$时，$λ\boldsymbol a=0$；当$λ<0$时，$λ\boldsymbol a$的方向与$\boldsymbol a$的方向相反；当$λ>0$时，$λ\boldsymbol a$的方向与$\boldsymbol a$的方向相同。
向量数乘运算的结果仍是向量。实数与向量可以求积，但不能进行加减运算，如$λ+\boldsymbol a$，$λ-\boldsymbol a$无意义。
（2）向量数乘的运算律
设$λ$，$μ$为实数，则有：
$λ(μ\boldsymbol a)=(λμ)\boldsymbol a$（结合律）。
$(λ+μ)\boldsymbol a=λ\boldsymbol a+μ\boldsymbol a$（第一分配律）。
$λ(\boldsymbol a+\boldsymbol b)=λ\boldsymbol a+λ\boldsymbol b$（第二分配律）。
特别地，我们有：
$(-λ)\boldsymbol a=-(λ\boldsymbol a)=λ(-\boldsymbol a)$。
$λ(\boldsymbol a-\boldsymbol b)=λ\boldsymbol a-λ\boldsymbol b$。
（3）向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。对于任意向量$\boldsymbol a$，$\boldsymbol b$以及任意实数$λ$，$μ_1$，$μ_2$，恒有$λ(μ_1\boldsymbol a±μ_2\boldsymbol b)=$$λμ_1\boldsymbol a±λμ_2\boldsymbol b$。
二、实数与向量相乘的相关例题
下列说法正确的是___
A．一个向量与零相乘，乘积为零
B．向量不能与无理数相乘
C．非零向量乘以一个负数所得向量比原向量短
D．非零向量乘以一个负数所得向量与原向量方向相反
答案：D
解：A．一个向量与零相乘，乘积为零向量，故本选项错误；B．向量可以与任何实数相乘，故本选项错误；C．非零向量乘以一个负数所得向量的方向与原向量相反，但不一定更短，故本选项错误；D．非零向量乘以一个负数所得向量与原向量方向相反，故本选项正确。故答案是D。