容斥原理的定义和计算

文/林子
专题:

一、容斥原理的定义和计算

1、容斥原理

在计数时,先不考虑重叠的情况,把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来,然后再把计数时重复计算的数目排斥出去,使得计算的结果既无遗漏又无重复,这种计数的方法称为容斥原理。

2、容斥原理的计算

如果被计数的事物有$A$、$B$、$C$三类,那么$A$类、$B$类和$C$类元素个数总和=$A$类元素个数+$B$类元素个数+$C$类元素个数—既是$A$类又是$B$类的元素个数—既是$A$类又是$C$类的元素个数—既是$B$类又是$C$类的元素个数+既是$A$类又是$B$类而且是$C$类的元素个数。

即$A∪B∪C=$$A+B+C-$$A∩B-$$B∩C-$$C∩A+$$A∩B∩C$。

3、集合的容斥关系

两个集合的容斥关系公式:$A∪B=$$|A∪B|=$$|A|+$$|B|-$$|A∩B|$($∩$:重合的部分)。

三个集合的容斥关系公式:$|A∪B∪C|=$$|A|+$$|B|+$$|C|-$$|A∩B|-$$|B∩C|-$$|C∩A|+$$|A∩B∩C|$($∩$:重合的部分)。

二、容斥原理的相关例题

某班有38名学生,一次数学测验共有两道题,答对第一题的有26人, 答对第二题的有24人,两题都答对的有17人,则两题都答错的人数是___

A.3 B.5 C.6 D.7

答案:B

解析:设两题都答错的人数为$x$,根据两集合公式,$A+$$B-$$AB$等于总个数减去都不满足的个数,可得$26+$$24-$$17=$$38-$$x$,解得$x=5$。故选B。

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