平面向量的加法和运算律

文/离城梦
专题:

一、平面向量的加法和运算律

1、向量

既有大小又有方向的量叫向量。以$A$为起点、$B$为终点的向量记作:$\overrightarrow{AB}$或$\boldsymbol a$。

向量的两要素:大小和方向。

2、向量的加法

求两个向量和的运算,叫做向量的加法。

注:向量的和仍是一个向量;对于零向量与任一向量$\boldsymbol a$,有$\boldsymbol 0+\boldsymbol a=\boldsymbol a+\boldsymbol 0=\boldsymbol a$,即任意向量与零向量的和为其本身。

(1)向量加法的三角形法则

已知非零向量$\boldsymbol a$,$\boldsymbol b$,在平面内任取一点$A$,作$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol a$,$\overrightarrow{BC}=\boldsymbol b$,则向量$\overrightarrow{AC}$叫做$\boldsymbol a$与$\boldsymbol b$的和,记作$\boldsymbol a+\boldsymbol b$,即$\boldsymbol a+\boldsymbol b=$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=$$\overrightarrow{AC}$。这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则。

(2)向量加法的平行四边形法则

以同一点$O$为起点的两个已知向量$\boldsymbol a$,$\boldsymbol b$为邻边作平行四边形$OACB$,则以$O$为起点的对角线$OC$就是$\boldsymbol a$与$\boldsymbol b$的和。把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则。

(3)常用结论

$\boldsymbol 0+\boldsymbol a=\boldsymbol a+\boldsymbol 0=\boldsymbol a$,$|\boldsymbol a+\boldsymbol b|\leqslant |\boldsymbol a|+|\boldsymbol b|$。

当$\boldsymbol a$与$\boldsymbol b$同向时,$|\boldsymbol a+\boldsymbol b|=|\boldsymbol a|+|\boldsymbol b|$。

当$\boldsymbol a$与$\boldsymbol b$反向或$\boldsymbol a$,$\boldsymbol b$中至少有一个为$\boldsymbol 0$时,$|\boldsymbol a+\boldsymbol b|=$$|\boldsymbol a|-|\boldsymbol b|$(或$|\boldsymbol b|-|\boldsymbol a|$)。

(4)向量加法的运算律

交换律:$\boldsymbol a+\boldsymbol b=\boldsymbol b+\boldsymbol a$。

结合律:$(\boldsymbol a+\boldsymbol b)+\boldsymbol c=\boldsymbol a+(\boldsymbol b+\boldsymbol c)$。

3、向量的减法

求两个向量差的运算,叫做向量的减法。

注:减去一个向量,相当于加上这个向量的相反向量,两个向量的差仍是向量。

常用结论

$-(-\boldsymbol a)=\boldsymbol a$,$\boldsymbol a+(-\boldsymbol a)=$$(-\boldsymbol a)+$$\boldsymbol a=\boldsymbol 0$,$\boldsymbol a-\boldsymbol b=$$\boldsymbol a+(-\boldsymbol b)$。

二、平面向量的加法的相关例题

已知向量$\boldsymbol a$,$\boldsymbol b$均为非零向量,则下列说法不正确的个数是___

① 向量$\boldsymbol a$与$\boldsymbol b$反向,且$|\boldsymbol a|>|\boldsymbol b|$,则向量$\boldsymbol a+\boldsymbol b$与$\boldsymbol a$的方向相同;

② 向量$\boldsymbol a$与$\boldsymbol b$反向,且$|\boldsymbol a|<|\boldsymbol b|$,则向量$\boldsymbol a+\boldsymbol b$与$\boldsymbol a$的方向相同;

③ 向量$\boldsymbol a$与$\boldsymbol b$同向,则向量$\boldsymbol a+\boldsymbol b$与$\boldsymbol a$的方向相同。

A.0 B.1 C.2 D.3

答案:B

解析:对于①,向量$\boldsymbol a$与$\boldsymbol b$反向,且$|\boldsymbol a|>|\boldsymbol b|$,向量$\boldsymbol a+\boldsymbol b$与$\boldsymbol a$的方向相同,正确;对于②,向量$\boldsymbol a+\boldsymbol b$与$\boldsymbol b$的方向相同,故②说法不正确;③向量$\boldsymbol a$与$\boldsymbol b$同向,则向量$\boldsymbol a+\boldsymbol b$与$\boldsymbol a$的方向相同,正确,故①③说法正确。故选B。

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