专题:
一、三角形重心的性质和定义
1、三角形的重心
（1）定义
三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心。
（2）重心的性质
①三角形的重心到边的中心与到相应顶点的距离之比为1∶2。
②重心和三角形三个顶点组成的三个三角形面积相等。
③重心到三角形三个顶点距离的平方和最小（等边三角形）。
④三角形重心是三角形内到三边距离之积最大的点。
2、三角形的内心
（1）定义
三角形的三条内角平分线交于一点，这点称为三角形的内心（内切圆圆心）。
（2）内心的性质
①三角形的内心到三边的距离相等，都等于三角形内切圆半径。
②内切圆半径$r$的计算：设三角形面积为$S$，并记$P$=$\frac{1}{2}$($a$+$b$+$c$)，则$r$=$\frac{S}{P}$。
③特别的，在直角三角形中,有$r$=$\frac{1}{2}$($a$+$b$-$c$)（$r$为三角形内切圆半径）。
3、三角形的外心
（1）定义
三角形的三条边的垂直平分线交于一点，这点称为三角形的外心（外接圆圆心）。
（2）外心的性质
①三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等，都等于三角形的外接圆半径。
②锐角三角形的外心在三角形内。
③直角三角形的外心在斜边中点。
④钝角三角形的外心在三角形外。
⑤等边三角形外心与内心为同一点。
二、三角形重心的性质的相关例题
给出以下判断：
（1）线段的中点是线段的重心
（2）三角形的三条中线交于一点，这一点就是三角形的重心
（3）平行四边形的重心是它的两条对角线的交点
（4）三角形的重心是它的中线的一个三等分点
那么以上判断中正确的有___
A．一个 B．两个 C．三个 D．四个
答案：D
解析：（1）线段的中点到线段两个端点的距离相等，为线段的重心，正确；（2）三角形的中线平分三角形的三条边，所以三条中线的交点为三角形的重心，正确；（3）平行四边形对角线的交点到平行四边形对角顶点的距离相等，为平行四边形的重心，正确；（4）利用平行可得三角形的重心把中线分为1∶2两部分，所以是它的中线的一个三等分点，正确，故选D。