一、二次根式的乘除法和法则
1、二次根式的化简
性质$\sqrt{ab}=$$\sqrt{a}·\sqrt{b}$$(a\geqslant0,b\geqslant0)$和$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$$(a\geqslant0,b>0)$是二次根式计算或化简的重要依据,如果一个二次根式的被开方数中有的因式(或因数)能开方开得尽,可以利用积的算术平方根的性质及公式$\sqrt{a^2}=a$$(a\geqslant0)$,将这些因式(或因数)开出来,从而将二次根式化简。
2、二次根式的性质
(1)$\sqrt{a^2}=|a|=\begin{cases}a(a>0),\\0(a=0),\\-a(a<0);\end{cases}$
(2)$\sqrt{a}\geqslant0(a\geqslant0)$;
(3)$(\sqrt{a})^2=a(a\geqslant0)$。
3、二次根式的乘法法则
$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$$(a\geqslant0,b\geqslant0)$。即两个二次根式相乘,把被开方数相乘,根指数不变。反过来即得到$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$$(a\geqslant0,b\geqslant0)$,利用它可以进行二次根式的化简。
4、二次根式的除法法则
(1)$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$$(a\geqslant0,b>0)$。即两个二次根式相除,把被开方数相除,根指数不变。反过来即得到$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$$(a\geqslant0,b>0)$,利用它可以进行二次根式的化简。
(2)分母有理化
在二次根式的运算中,最后结果一般要求分母中不含二次根式。把分母中的根号化去的过程称为分母有理化,具体做法:$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{a}·\sqrt{b}}{\sqrt{b}·\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{ab}}{b}$$(a\geqslant0,b>0)$;
也可通过类似分式中的“约分”进行分母有理化,如$\frac{ab}{\sqrt{b}}=$$\frac{a(\sqrt{b})^2}{\sqrt{b}}=$$a\sqrt{b}$$(b>0)$。
二、二次根式的乘除法的相关例题
下列二次根式中,与$\sqrt{3}$相乘结果为无理数的是___
A.$\sqrt{48}$ B.$-\sqrt{27}$ C.$\sqrt{\frac{4}{3}}$ D.$\sqrt{18}$
答案:D
解析:A.$\sqrt{48}×\sqrt{3}=4\sqrt{3}×\sqrt{3}=12$,结果是有理数,不符合题意;B.$-\sqrt{27}×\sqrt{3}=-3\sqrt{3}×\sqrt{3}=-9$,结果是有理数,不符合题意;C.$\sqrt{\frac{4}{3}}×\sqrt{3}=\sqrt{\frac{4}{3}×3}=2$,结果是有理数,不符合题意;D.$\sqrt{18}×\sqrt{3}=3\sqrt{2}×\sqrt{3}=3\sqrt{6}$,结果是无理数,符合题意,故选D。