一、圆的定义和有关概念
1、圆的有关概念
(1)圆的定义:在一个平面内,线段$OA$绕它固定的一个端点$O$旋转一周,另一个端点$A$ 所形成的图形叫做圆。其固定的端点$O$叫做圆心,线段$OA$叫做半径。以点$O$为圆心的圆,记作“$⊙O$”,读作“圆$O$”。
此外,圆心为$O$,半径为$r$的圆可以看成是所有到定点$O$的距离等于定长$r$的点的集合。
(2)弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦。
(3)直径:经过圆心的弦叫做直径。
(4)弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。以$A$,$B$为端点的弧记作$\overset{\frown} {AB}$,读作“圆弧$AB$”或“弧$AB$”。
圆的任意一条非直径的弦把圆分成两条不同长的弧,大于半圆的弧叫做优弧,一般用三个点表示;小于半圆的弧叫做劣弧。
(5)半圆:圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆。
(6)等圆、等弧:能够重合的两个圆叫做等圆。
容易看出:半径相等的两个圆是等圆;反过来,同圆或等圆的半径相等。在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧。
2、垂直于弦的直径
(1)圆的对称性
圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。圆有无数条对称轴。
圆也是中心对称图形,圆心是它的对称中心。
圆还具有旋转不变性。
(2)垂径定理
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧。
推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。
3、弧、弦、圆心角
(1)圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角。
(2)圆心角定理
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等。
同样还可以得到:
① 在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦相等。
② 在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的优弧和劣弧分别相等。
4、圆周角
(1)圆周角的定义:顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
(2)圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论:同弧或等弧所对的圆周角相等。
半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径。
在同圆或等圆中,两个圆周角、两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,它们所对应的其余各组量也相等。
(3)圆内接多边形
如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边形叫做圆内接多边形,这个圆叫做这个多边形的外接圆。
(4)圆内接四边形的性质
圆内接四边形的对角互补。
5、点和圆的位置关系
设$⊙O$的半径为$r$,点$P$到圆心的距离$OP=d$,则有
(1)点$P$在$⊙O$外,$d>r$。
(2)点$P$在$⊙O$上,$d=r$。
(3)点$P$在$⊙O$内,$d<r$。
6、三角形的外接圆
(1)不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
(2)三角形的外接圆的有关概念:经过三角形的三个顶点可以作一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点,叫做这个三角形的外心。
(3)三角形外接圆的作法
① 确定圆心:三角形两边的垂直平分线的交点即为圆心;
② 确定半径:交点到三角形任意一顶点的距离即为外接圆的半径。
7、直线和圆的位置关系
设圆的半径为r,圆心到直线的距离为$d$。
(1)相交:直线和圆有两个公共点,这时我们说这条直线和圆相交,这条直线叫做圆的割线。此时公共点数为2,$d<r$。
(2)相切:直线和圆只有一个公共点,这时我们说这条直线和圆相切,这条直线叫做圆的切线,这个点叫做切点。此时公共点数为1,$d=r$。
(3)相离:直线和圆没有公共点,这时我们说这条直线和圆相离。此时公共点数为0,$d>r$。
8、圆的切线
(1)切线的判定定理
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。此外,经过圆心且垂直于切线的直线一定过切点;垂直于切线且过切点的直线必过圆心。
(2)切线的性质定理
圆的切线垂直于过切点的半径。
9、切线长
(1)切线长:经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线段的长,叫做这点到圆的切线长。
(2)切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
10、切线的判定和性质的应用
(1)辅助线的作法
运用切线的性质来进行计算或论证的常见辅助线是连接圆心和切点,利用垂直构造直角三角形解决有关问题。
(2)证明直线与圆相切的三种途径
① 证直线和圆有唯一公共点(即运用定义)。
② 证直线过半径外端且垂直于这条半径(即运用判定定理)。
③ 证圆心到直线的距离等于圆的半径(即证$d=r$)。
当题目已知直线与圆的公共点时,一般用方法② ,当题目未知直线与圆的公共点时,一般用方法③ 。
11、三角形的内切圆
(1)三角形的内切圆的有关概念
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心。
(2)三角形内切圆的作法
确定圆心:三角形两条角平分线的交点即为圆心。
确定半径:交点到三角形任意一边的距离即为内切圆的半径。
(3) 如果三角形三边长分别为$a$,$b$,$c$,内切圆半径为$r$,则三角形的面积$S=\frac{1}{2}(a+b+c)r$。
12、圆和圆的位置关系
设两圆的半径分别为$r_1$和$r_2(r_1<r_2)$,圆心距为$d$。
(1)两圆相离
① 外离:两个圆没有公共点,并且一个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫做这两个圆外离。此时$d>r_1+r_2\Leftrightarrow$ 外离。没有公共点。
② 内含(含同心圆):两个圆没有公共点,并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内含;两个圆的圆心重合时,我们称这两个圆是同心圆。此时$d=r_2-r_1\Leftrightarrow$ 内含,$d=0\Leftrightarrow$ 同心圆。没有公共点。
(2)两圆相切
① 外切:两个圆有唯一公共点,并且除这个公共点以外,一个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫做这两个圆外切。这个唯一的公共点叫做切点。此时$d=r_1+r_2\Leftrightarrow$ 外切。公共点个数为1。
② 内切:两个圆有唯一公共点,并且除这个公共点以外,一个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内切。这个唯一的公共点叫做切点。此时$d=r_2-r_1\Leftrightarrow$ 内切。公共点个数为1。
(3)两圆相交
两个圆有两个公共点时,叫做两圆相交。此时$r_2-r_1<d<r_1+r_2\Leftrightarrow$ 相交。公共点个数为2。
13、正多边形和圆
(1)正多边形的有关概念
一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心,外接圆的半径叫做正多边形的半径,正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角,中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。
(2)正多边形的画法
正$n$边形的画法思想是将圆$n$等分,然后顺次连接等分点即得到所要作的正多边形。如作正六边形,可以先画一个半径与已知边长相等的圆,然后在上面截取得到等分点,连接即得到所要作的正六边形。并非所有的正多边形都可以只用尺规作出。
(3)正多边形的计算
设正多边形的边数为$n$,半径为$R$,边心距为$r$,边长为$a$,则有:
① 正多边形的内角:$\frac{(n-2)·180°}{n}=$$180°-$$\frac{360°}{n}$。
② 正多边形的中心角:$\frac{360°}{n}$。
③ 正多边形的半径:$R^2=r^2+\frac{1}{4}a^2$。
④ 正多边形的周长:$C=n·a$。
⑤ 正多边形的面积:$S=\frac{1}{2}nar=\frac{1}{2}C·r$。
14、弧长和扇形面积
(1)弧长公式
在半径为$R$的圆中,因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长$C=2πR$,所以$n°$的圆心角所对的弧长为$l=2πR·\frac{n}{360}$,即$l=\frac{nπR}{180}$。
(2)扇形面积公式
由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形。在半径为$R$的圆中,因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积$S=πR^2$,所以圆心角为$n°$的扇形面积是$S_{扇形}=$$πR^2×$$\frac{n}{360}=$$\frac{nπR^2}{360}$。
(3)圆锥的母线
圆锥是由一个底面和一个侧面围成的,把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。
(4)圆锥的侧面展开图及有关计算
沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平,容易得到,圆锥的侧面展开图是一个扇形。
设圆锥的母线长为$l$,底面圆的半径为$r$ ,那么这个扇形的半径为$l$,扇形的弧长为$2πr$,因此圆锥的侧面积为$S_{圆锥侧}=$$\frac{1}{2}×$$2πr·l=$$πlr$,圆锥的全面积为$S_{圆锥全}=$$πlr+$$πr^2$。
二、圆的相关例题
若$⊙O$的半径为5 cm,点$A$到圆心$O$的距离为4 cm,那么点$A$与$⊙O$的位置关系是___
A.点$A$在圆外
B.点$A$在圆上
C.点$A$在圆内
D.不能确定
答案:C
解析:∵4 cm<5 cm,即$d<r$,∴点$A$与$⊙O$的位置关系是点$A$在圆内。