意思不同、用法不同、侧重点不同。Part with的意思是放弃、交出、卖掉(贵重物品或难舍之物);give up的意思是放弃、抛弃、戒除、交出。Part with侧重于指放弃、舍弃一些自己舍不得的东西;give up侧重指没有希望或因外界压力而放弃。
part with:part用作不及物动词,part with常用于将贵重或心爱之物赠送或卖给别人,可用于物或人。
give up:普通用语,give up后接名词、代词或v.-ing形式。give up与代词连用时,代词需放中间。
He keeps holding the China Cup and simply couldn't part with it.
他拿着那个瓷杯把玩,爱不释手。
She doesn't give up easily.
她做任何事都不轻易放弃。