斐波那契数列定义及通项公式

本期整理斐波那契数列定义及公式相关内容，斐波那契数列又称黄金分割数列，其通项公式如图所示。斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、⋯⋯这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和。

一、斐波那契数列的定义

斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、⋯⋯这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和。

二、斐波那契数列通项公式

斐波那契数列通项公式为：

三、斐波那契数列的特性

1. 从第二项开始（构成一个新数列，第一项为1，第二项为2，⋯⋯），每个偶数项的平方都比前后两项之积多1，每个奇数项的平方都比前后两项之积少1。

2. 斐波那契数列的第n+2项同时也代表了集合1,2,⋯,n中所有不包含相邻正整数的子集个数。

3. 奇数项求和

a1+a3+a5+a7+⋯+a2n−1=a2n。

4. 偶数项求和

a2+a4+a6+a8+⋯+a2n=a2n+1−1$a_2+a_4+a_6+a_8+\cdots +a_{2n}=a_{2n+1}-1$。

5. 平方求和

6. 隔项关系

a2n−2m−2(a2n+a2n+2)=a2m+2+a4n−2m$a_{2n-2m-2}(a_{2n}+a_{2n+2})=a_{2m+2}+a_{4n-2m}$(n>m⩾−1,n⩾1)$(n>m⩾-1,n⩾1)$

7. 两倍项关系

8. 其他公式

为方便大家阅读，为大家整理出图片版斐波那契数列的特性，请参考：