幂函数导数

文/寂寞痛
专题:

幂函数求导公式:y'=ay/x=ax^a/x=ax^(a-1)。幂函数导数公式的证明:y=x^a,两边取对数lny=alnx,两边对x求导(1/y)*y'=a/x,所以y'=ay/x=ax^a/x=ax^(a-1)。

幂函数求导公式

幂函数导数公式的证明:

y=x^a。

两边取对数lny=alnx。

两边对x求导(1/y)*y'=a/x。

所以y'=ay/x=ax^a/x=ax^(a-1)。

在这个过程之中:

1、lny首先是y的函数,y又是x的函数,所以,lny也是x的函数。

2、lny是一目了然的,是显而易见的,是直截了当的,所以称它为显函数,explicitfunction。

3、设u=lny,u是y的显函数,它也是x的函数,由于是隐含的,称为隐函数,implicit。

4、u对y求导是1/y,这是对y求导,不是对x求导。

5、u是x的隐函数,u对x求导,用链式求导,chainrule。

6、u对x的求导,是先对y求导,然后乘上y对x的求导,也就是:

du/dy=1/y。

du/dx=(du/dy)*(dy/dx)=(1/y)*y'=(1/y)y'。

幂函数导数公式的证明

y=x^a,两边取对数lny=alnx,两边对x求导(1/y)*y'=a/x,所以y'=ay/x=ax^a/x=ax^(a-1)。

当α为整数时,α的正负性和奇偶性决定了函数的单调性:

①当α为正奇数时,图像在定义域为R内单调递增。

②当α为正偶数时,图像在定义域为第二象限内单调递减,在第一象限内单调递增。

③当α为负奇数时,图像在第一三象限各象限内单调递减(但不能说在定义域R内单调递减)。

④当α为负偶数时,图像在第二象限上单调递增,在第一象限内单调递减。

一般的,形如y=x^α(α为实数)的函数,即以底数为自变量,幂为因变量,指数为常量的函数称为幂函数。例如函数y=x y=x、y=x、y=x(注:y=x=1/x y=x时x≠0)等都是幂函数。当a取非零的有理数时是比较容易理解的,而对于α取无理数时,初学者则不大容易理解了。

因此,在初等函数里,我们不要求掌握指数为无理数的问题,只需接受它作为一个已知事实即可,因为这涉及到实数连续性的极为深刻的知识。

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