参考公式:柱体的体积,其中是柱体的底面积,是柱体的高.
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
1.已知集合,则 .
2.已知是虚数单位,则复数的实部是 .
3.已知一组数据的平均数为4,则的值是 .
4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,则点数和为5的概率是 .
5.如图是一个算法流程图,若输出的值为,则输入的值是 .
6.在平面直角坐标系xOy中,若双曲线的一条渐近线方程为,则该双曲线的离心率是 .
7.已知y=f(x)是奇函数,当x≥0时,,则的值是 .
8.已知=,则的值是 .
9.如图,六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm,高为2 cm,内孔半轻为0.5 cm,则此六角螺帽毛坯的体积是 cm.
10.将函数的图象向右平移个单位长度,则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是 .
11.设{an}是公差为d的等差数列,{bn}是公比为q的等比数列.已知数列{an+bn}的前n项和,则d+q的值是 .
12.已知,则的最小值是 .
13.在△ABC中,D在边BC上,延长AD到P,使得AP=9,若(m为常数),则CD的长度是 .
14.在平面直角坐标系xOy中,已知,A,B是圆C:上的两个动点,满足,则△PAB面积的最大值是 .
二、解答题:本大题共6小题,共计90分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(14分)在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,B1C⊥平面ABC,E,F分别是AC,B1C的中点.
(1)求证:EF∥平面AB1C1;(2)求证:平面AB1C⊥平面ABB1.
16.(14分)
在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.
(1)求的值;
(2)在边BC上取一点D,使得,求的值.
17.(14分)
某地准备在山谷中建一座桥梁,桥址位置的竖直截面图如图所示:谷底O在水平线MN上,桥AB与MN平行,为铅垂线(在AB上).经测量,左侧曲线AO上任一点D到MN的距离(米)与D到的距离a(米)之间满足关系式;右侧曲线BO上任一点F到MN的距离(米)与F到的距离b(米)之间满足关系式.已知点B到的距离为40米.
(1)求桥AB的长度;
(2)计划在谷底两侧建造平行于的桥墩CD和EF,且CE为80米,其中C,E在AB上(不包括端点)..桥墩EF每米造价k(万元)、桥墩CD每米造价(万元)(k>0),问为多少米时,桥墩CD与EF的总造价最低?
18.(16分)
在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,点A在椭圆E上且在第一象限内,AF2⊥F1F2,直线AF1与椭圆E相交于另一点B.
(1)求的周长;
(2)在x轴上任取一点P,直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q,求的最小值;
(3)设点M在椭圆E上,记与的面积分别为S1,S2,若,求点M的坐标.
19.(16分)
已知关于x的函数与在区间D上恒有.
(1)若,求h(x)的表达式;
(2)若,求k的取值范围;
(3)若求证:.
20.(16分)已知数列的首项a1=1,前n项和为Sn.设λ与k是常数,若对一切正整数n,均有成立,则称此数列为“λ~k”数列.
(1)若等差数列是“λ~1”数列,求λ的值;
(2)若数列是“”数列,且,求数列的通项公式;
(3)对于给定的λ,是否存在三个不同的数列为“λ~3”数列,且?若存在,求λ的取值范围;若不存在,说明理由.
2023年江苏省高考仿真数学试卷答案
1. 2.3 3.2 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.4 12. 13.或0 14.
15.证明:因为分别是的中点,所以.
又平面,平面,
所以平面.
(2)因为平面,平面,
所以.
又,平面,平面,
所以平面.
又因为平面,所以平面平面.
16.解:(1)在中,因为,
由余弦定理,得,
所以.
在中,由正弦定理,
得,
所以
(2)在中,因为,所以为钝角,
而,所以为锐角.
故则.
因为,所以,.
从而
.
17.解:(1)设都与垂直,是相应垂足.
由条件知,当时,
则.
由得
所以(米).
(2)以为原点,为轴建立平面直角坐标系(如图所示).
设则
.
因为所以.
设则
所以
记桥墩和的总造价为,
则
,
令 得
所以当时,取得最小值.
答:(1)桥的长度为120米;
(2)当为20米时,桥墩和的总造价最低.
18.解:(1)椭圆的长轴长为,短轴长为,焦距为,
则.
所以的周长为.
(2)椭圆的右准线为.
设,
则,
在时取等号.
所以的最小值为.
(3)因为椭圆的左、右焦点分别为,点在椭圆上且在第一象限内,,
则.
所以直线
设,因为,所以点到直线距离等于点到直线距离的3倍.
由此得,
则或.
由得,此方程无解;
由得,所以或.
代入直线,对应分别得或.
因此点的坐标为或.
19.解:(1)由条件,得,
取,得,所以.
由,得,此式对一切恒成立,
所以,则,此时恒成立,
所以.
(2).
令,则令,得.
所以.则恒成立,
所以当且仅当时,恒成立.
另一方面,恒成立,即恒成立,
也即恒成立.
因为,对称轴为,
所以,解得.
因此,k的取值范围是
(3)①当时,
由,得,整理得
令 则.
记
则恒成立,
所以在上是减函数,则,即.
所以不等式有解,设解为,
因此.
②当时,
.
设,
令,得.
当时,,是减函数;
当时,,是增函数.
,,则当时,.
(或证:.)
则,因此.
因为,所以.
③当时,因为,均为偶函数,因此也成立.
综上所述,.
20.解:(1)因为等差数列是“λ~1”数列,则,即,
也即,此式对一切正整数n均成立.
若,则恒成立,故,而,
这与是等差数列矛盾.
所以.(此时,任意首项为1的等差数列都是“1~1”数列)
(2)因为数列是“”数列,
所以,即.
因为,所以,则.
令,则,即.
解得,即,也即,
所以数列是公比为4的等比数列.
因为,所以.则
(3)设各项非负的数列为“”数列,
则,即.
因为,而,所以,则.
令,则,即.(*)
①若或,则(*)只有一解为,即符合条件的数列只有一个.
(此数列为1,0,0,0,…)
②若,则(*)化为,
因为,所以,则(*)只有一解为,
即符合条件的数列只有一个.(此数列为1,0,0,0,…)
③若,则的两根分别在(0,1)与(1,+∞)内,
则方程(*)有两个大于或等于1的解:其中一个为1,另一个大于1(记此解为t).
所以或.
由于数列从任何一项求其后一项均有两种不同结果,所以这样的数列有无数多个,则对应的有无数多个.
综上所述,能存在三个各项非负的数列为“”数列,的取值范围是.
21.【选做题】本题包括A、B、C三小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.[选修4-2:矩阵与变换](10分)
平面上点在矩阵对应的变换作用下得到点.
(1)求实数,的值;
(2)求矩阵的逆矩阵.
B.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
在极坐标系中,已知点在直线上,点在圆上(其中,).
(1)求,的值;
(2)求出直线与圆的公共点的极坐标.
C.[选修4-5:不等式选讲](10分)
设,解不等式.
【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
22.(10分)
在三棱锥A—BCD中,已知CB=CD=,BD=2,O为BD的中点,AO⊥平面BCD,AO=2,E为AC的中点.
(1)求直线AB与DE所成角的余弦值;
(2)若点F在BC上,满足BF=BC,设二面角F—DE—C的大小为θ,求sinθ的值.
23.(10分)
甲口袋中装有2个黑球和1个白球,乙口袋中装有3个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋,重复n次这样的操作,记甲口袋中黑球个数为Xn,恰有2个黑球的概率为pn,恰有1个黑球的概率为qn.
(1)求p1,q1和p2,q2;
(2)求2pn+qn与2pn-1+qn-1的递推关系式和Xn的数学期望E(Xn)(用n表示) .
数学Ⅱ(附加题)参考答案
21.【选做题】
A.[选修4-2:矩阵与变换]
本小题主要考查矩阵的运算、逆矩阵等基础知识,考查运算求解能力.满分10分.
解:(1)因为 ,所以
解得,所以.
(2)因为,,所以可逆,
从而.
B.[选修4-4:坐标系与参数方程]
本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识,考查运算求解能力.满分10分.
解:(1)由,得;,又(0,0)(即(0,))也在圆C上,
因此或0.
(2)由得,所以.
因为,,所以,.
所以公共点的极坐标为.
C.[选修4-5:不等式选讲]
本小题主要考查解不等式等基础知识,考查运算求解和推理论证能力.满分10分.
解:当x>0时,原不等式可化为,解得;
当时,原不等式可化为,解得;
当时,原不等式可化为,解得.
综上,原不等式的解集为.
22.【必做题】本小题主要考查空间向量、异面直线所成角和二面角等基础知识,考查空间想象能力和运算求解能力.满分10分.
解:(1)连结OC,因为CB =CD,O为BD中点,所以CO⊥BD.
又AO⊥平面BCD,所以AO⊥OB,AO⊥OC.
以为基底,建立空间直角坐标系O–xyz.
因为BD=2,,AO=2,
所以B(1,0,0),D(–1,0,0),C(0,2,0),A(0,0,2).
因为E为AC的中点,所以E(0,1,1).
则=(1,0,–2),=(1,1,1),
所以.
因此,直线AB与DE所成角的余弦值为.
(2)因为点F在BC上,,=(–1,2,0).
所以.
又,
故.
设为平面DEF的一个法向量,
则即
取,得,,所以.
设为平面DEC的一个法向量,又=(1,2,0),
则即取,得,,
所以.
故.
所以.
23.【必做题】本小题主要考查随机变量及其概率分布等基础知识,考查逻辑思维能力和推理论证能力.满分10分.
解:(1),,
,
.
(2)当时,
,①
,②
,得.
从而,又,
所以,.③
由②,有,又,
所以,.
由③,有,.
故,.
的概率分布
0 | 1 | 2 | |
则.