2024年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
数学
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷4至6页.
答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
祝各位考生考试顺利!
第Ⅰ卷(选择题)
注意事项:
1.每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.
2.本卷共9小题,每小题5分,共45分.
参考公式:
·如果事件互斥,那么.
·如果事件相互独立,那么.
·球的体积公式,其中表示球的半径.
·圆锥的体积公式,其中表示圆锥的底面面积,表示圆锥的高.
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 集合,,则( )
A. B. C. D.
2. 设,则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 下列图中,相关性系数最大的是( )
A. B.
C D.
4. 下列函数是偶函数的是( )
A. B. C. D.
5. 若,则大小关系为( )
A. B. C. D.
6. 若为两条不同的直线,为一个平面,则下列结论中正确的是( )
A. 若,,则 B. 若,则
C. 若,则 D. 若,则与相交
7. 已知函数的最小正周期为.则函数在的最小值是( )
A. B. C. 0 D.
8. 双曲线的左、右焦点分别为是双曲线右支上一点,且直线的斜率为2.是面积为8的直角三角形,则双曲线的方程为( )
A. B. C. D.
9. 一个五面体.已知,且两两之间距离为1.并已知.则该五面体体积为( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
注意事项:
1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.
2.本卷共11小题,共105分.
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.试题中包含两个空的,答对1个的给3分,全部答对的给5分.
10. 已知虚数单位,复数______.
11. 在的展开式中,常数项为______.
12. 的圆心与抛物线的焦点重合,为两曲线的交点,则原点到直线的距离为______.
13. 五种活动,甲、乙都要选择三个活动参加.(1)甲选到的概率为______;已知乙选了活动,他再选择活动的概率为______.
14. 在边长为1的正方形中,点为线段的三等分点, ,则______;若为线段上的动点,为中点,则的最小值为______.
15. 若函数有唯一零点,则的取值范围为______.
三、解答题:本大题共5小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
16. 在中,.
(1)求;
(2)求;
(3)求.
17. 已知四棱柱中,底面为梯形,,平面,,其中.是的中点,是的中点.
(1)求证平面;
(2)求平面与平面的夹角余弦值;
(3)求点到平面距离.
18. 已知椭圆椭圆的离心率.左顶点为,下顶点为是线段的中点,其中.
(1)求椭圆方程.
(2)过点的动直线与椭圆有两个交点.在轴上是否存在点使得恒成立.若存在求出这个点纵坐标的取值范围,若不存在请说明理由.
19. 已知数列是公比大于0的等比数列.其前项和为.若.
(1)求数列前项和;
(2)设,,其中是大于1的正整数.
(ⅰ)当时,求证:;
(ⅱ)求.
20. 设函数.
(1)求图象上点处的切线方程;
(2)若在时恒成立,求的取值范围;
(3)若,证明.
2024年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
数学
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷4至6页.
答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
祝各位考生考试顺利!
第Ⅰ卷(选择题)
注意事项:
1.每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.
2.本卷共9小题,每小题5分,共45分.
参考公式:
·如果事件互斥,那么.
·如果事件相互独立,那么.
·球的体积公式,其中表示球的半径.
·圆锥的体积公式,其中表示圆锥的底面面积,表示圆锥的高.
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
【1题答案】
【答案】B
【2题答案】
【答案】C
【3题答案】
【答案】A
【4题答案】
【答案】B
【5题答案】
【答案】B
【6题答案】
【答案】C
【7题答案】
【答案】A
【8题答案】
【答案】C
【9题答案】
【答案】C
第Ⅱ卷
注意事项:
1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.
2.本卷共11小题,共105分.
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.试题中包含两个空的,答对1个的给3分,全部答对的给5分.
【10题答案】
【答案】
【11题答案】
【答案】20
【12题答案】
【答案】##
【13题答案】
【答案】 ①. ②.
【14题答案】
【答案】 ①. ②.
【15题答案】
【答案】
三、解答题:本大题共5小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
【16题答案】
【答案】(1)
(2)
(3)
【17题答案】
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【18题答案】
【答案】(1)
(2)存在,使得恒成立.
【19题答案】
【答案】(1)
(2)①证明见详解;②
【20题答案】
【答案】(1)
(2)
(3)证明过程见解析