反比例函数图像与性质 什么是反比例函数

文/佳佳
专题:

反比例函数,又称为倒数函数,其一般形式为y=k/x(k≠0)。这里的k是常数,x是自变量,y是因变量。自变量x的取值范围是x≠0的一切实数,函数的取值范围也是一切非零实数。自变量x和函数值y的取值范围都是不等于0的任意实数。

反比例函数图像与性质是什么

反比例函数图像:

反比例函数的图象是双曲线,它有两个分支,这两个分支分别位于第一、三象限,或第二、四象限.由于反比例函数中自变量x≠0,函数y≠0,所以,它的图象与x轴、y轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永远达不到坐标轴

反比例函数的性质:

1. 图象性质:反比例函数的图象是由两条曲线组成的双曲线,这两条曲线分别位于坐标系的四个象限中。双曲线向坐标轴无限延伸,但不能与坐标轴相交。

2. k的正负性影响:反比例函数的表达式为y=k/x,其中k为比例系数。k的正负性决定了双曲线大致位置及y随x的变化情况。当k>0时,图象位于第一、三象限;当k<0时,图象位于第二、四象限。在同一个象限内,y随x的增大而减小(k>0)或增大(k<0)。

3. 对称性:反比例函数的图象既是轴对称图形,又是中心对称图形。其对称轴是直线y=x及y=-x,对称中心是坐标原点(0,0)。

4. k的几何意义:在反比例函数y=k/x中,|k|的几何意义是:|k|等于双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线的矩形的面积。

5. 定义域与值域:反比例函数的定义域是所有不为零的实数,值域也是所有不为零的实数。因为x和y的乘积必须等于常数k,所以x和y不能为0。

6. 渐近线:反比例函数的图象有两条渐近线,分别是x轴和y轴。随着x或y的绝对值无限增大,函数值会无限趋近于0,但不会与x轴和y轴相交。

7. 交点与对称点:若两个反比例函数y=k1/x和y=k2/x有交点,则它们的交点关于原点对称。例如,若一个交点是(x1, y1),则另一个交点是(-x1, -y1)。

8. 与正比例函数的关系:正比例函数y=kx与反比例函数y=k/x的图象交于两点,这两点关于原点对称。

什么是反比例函数

我们知道,形如B/A ,(A、B是整式,A中含有字母)的代数式称作分式。

如果在分母的位置放上自变量x,分子的位置给定一个确定的实数,并且令整个式子等于y,那么我们就得到一个反比例函数——形如 y=k/x,(k是常数,叫作比例系数,且不等于0)的函数叫作反比例函数。(若等号后除了以自变量为分母的一个分式以外,还加了一个整式,则它不是反比例函数)

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