一致连续和连续的区别是什么 有哪些不同

文/小天
专题:

连续是在一个点附近表现得平滑,一致连续是在整个区间上表现得比较“整齐”,变化速度比较均匀。也就是说“一致连续刻画整体性,连续刻画单点局部性。”,一致连续和连续的区别有范围不同、连续性不同、图像区别。

一致连续和连续的区别

区别有范围不同、连续性不同、图像区别。范围不同:连续是局部性质,一般只对单点,而一致连续是整体性质,要对定义域上的某个子集。连续性不同:一致连续的函数必连续,连续的未必一致连续。如果一个函数具有一致连续性则一定具有连续性,而函数具有连续性并不一定具有一致连续性。

图像区别:闭区间上连续的函数必一致连续,所以在闭区间上来讲二者是一致的;在开区间连续的未必一致连续,一致连续的函数图像不存在上升或者下降的坡度无限变陡的情况,连续的却有可能出现,比如在(0,1)上连续的函数y=1/x。

一致连续函数的性质

1、设函数在区间和上一致连续,若,则在上也一致连续。

2、若函数都在区间I上一致连续,则也在区间I上一致连续。

3、若在有限区间I上一致连续,则在I上有界。

4、若函数都在有限区间I上的有界的一致连续函数,则在区间I上也一致连续。

5、若在定义域I上一致连续,其值域为U,在U上一致连续,则在I上一致连续。

一致连续和连续有哪些不同

1. 范围不同:连续是局部性质,通常只针对单个点;一致连续是整体性质,需要对定义域上的某个子集做出考虑。

2. 连续性概念不同:一致连续的函数必然连续,但连续的函数未必一致连续。具有一致连续性的函数一定是连续的,但连续函数未必具备一致连续性。

3. 图像表现不同:闭合区间上连续的函数必然是一致连续的,所以在闭合区间内它们是等价的。在开区间上连续的函数不一定是一致连续的;一致连续的函数的图像不会出现无限陡峭的情况,而连续函数可能在某些情况下会产生这样的情形,例如在区间(0,1)上连续的函数y=1/x。

一致连续的理解

想象有一条长长的路,函数就像是一个人在路上走。

一致连续的意思是,不管这个人在路的哪个位置开始走,也不管走多远,他前后步伐的大小总是差不多的。

比如说,如果规定每一步最大只能跨 1 米,那不管从哪里开始走,走 10 米还是 100 米,每一步都不会超过 1 米。

用数学的话来说,对于任意给定的一个很小的距离(比如叫 ε),都能找到一个固定的长度(比如叫 δ),只要两个点之间的距离小于这个 δ,那么它们对应的函数值的距离就一定小于 ε 。

总之,一致连续就是函数值的变化在整个区间内是比较均匀、有规律的,不会有的地方变化快,有的地方变化慢。

下面解释【对于任意给定的一个很小的距离(比如叫 ε),都能找到一个固定的长度(比如叫 δ),只要两个点之间的距离小于这个 δ,那么它们对应的函数值的距离就一定小于 ε 。】这段话:

假设函数是一个机器,输入值是我们给机器的原料,输出值是机器生产出来的产品。

现在呢,我们说任意给定一个很小很小的误差范围 ε ,这个 ε 就好比是我们对产品质量要求的一个非常小的误差容忍度。

然后呢,我们总能找到一个 δ , δ 就像是一个标准的原料长度范围。

如果我们给机器输入的两个原料之间的距离小于这个 δ ,也就是原料的差距在 δ 范围内。

那么机器生产出来的两个产品之间的距离,也就是对应的函数值的差距,就一定会小于我们一开始规定的那个很小很小的误差容忍度 ε 。

简单说,就是只要原料的差距小(小于 δ ),产品的差距就一定也小(小于 ε )。

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