2024全国甲卷理科数学真题及答案解析汇总

文/欲食巨坟
专题:

 

绝密★启用前

2024年普通高等学校招生全国统一考试

全国甲卷理科数学

使用范围:陕西、宁夏、青海、内蒙古、四川

注意事项:

1.答题前,务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上.

2.答选择题时,必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其它答案标号.

3.答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上.

4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效.

5.考试结束后,只将答题卡交回.

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1. 设,则(    )

A.  B.  C. 10 D.

2. 集合,则(    )

A.  B.  C.  D.

3. 若实数满足约束条件,则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 等差数列的前项和为,若,则(    )

A.  B.  C. 1 D. 2

5. 已知双曲线的两个焦点分别为,点在该双曲线上,则该双曲线的离心率为(    )

A 4 B. 3 C. 2 D.

6. 设函数,则曲线处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为(   )

A.  B.  C.  D.

7. 函数在区间的大致图像为(    )

A  B.

C.  D.

8 已知,则(    )

A.  B.  C.  D.

9. 已知向量,则(    )

A. “”是“”的必要条件 B. “”是“”的必要条件

C. “”是“”的充分条件 D. “”是“”的充分条件

10. 设是两个平面,是两条直线,且.下列四个命题:

①若,则          ②若,则

③若,且,则       ④若所成的角相等,则

其中所有真命题的编号是(    )

A ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ①③④

11. 在中内角所对边分别为,若,则(    )

A.  B.  C.  D.

12. 已知b是的等差中项,直线与圆交于两点,则的最小值为(    )

A. 2 B. 3 C. 4 D.

二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13. 的展开式中,各项系数的最大值是______.

14. 已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为,母线长分别为,则两个圆台的体积之比______.

15 已知,则______.

16. 有6个相同的球,分别标有数字1、2、3、4、5、6,从中不放回地随机抽取3次,每次取1个球.记为前两次取出的球上数字的平均值,为取出的三个球上数字的平均值,则差的绝对值不超过的概率是______.

三、解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17题~第21题为必考题,每个考题考生必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.

(一)必考题:共60分.

17. 某工厂进行生产线智能化升级改造,升级改造后,从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验,数据如下:

 

优级品

合格品

不合格品

总计

甲车间

26

24

0

50

乙车间

70

28

2

100

总计

96

52

2

150

 

(1)填写如下列联表:

 

优级品

非优级品

甲车间

 

 

乙车间

 

 

能否有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异?能否有的把握认为甲,乙两车间产品的优级品率存在差异?

(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率,设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果,则认为该工厂产品的优级品率提高了,根据抽取的150件产品的数据,能否认为生产线智能化升级改造后,该工厂产品的优级品率提高了?(

附:

0.050

0.010

0.001

k

3.841

6.635

10.828

 

18. 记为数列的前项和,且

(1)求的通项公式;

(2)设,求数列的前项和为

19. 如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形,的中点.

(1)证明:平面

(2)求二面角的正弦值.

20. 设椭圆的右焦点为,点上,且轴.

(1)求的方程;

(2)过点的直线与交于两点,为线段的中点,直线交直线于点,证明:轴.

21. 已知函数

(1)当时,求的极值;

(2)当时,恒成立,求的取值范围.

(二)选考题:共10分,请考生在第22、23题中任选一题作答,并用2B铅笔将所选题号涂黑,多涂、错涂、漏涂均不给分,如果多做,则按所做的第一题计分.

[选修4-4:坐标系与参数方程]

22. 在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.

(1)写出的直角坐标方程;

(2)设直线l:为参数),若与l相交于两点,若,求的值.

[选修4-5:不等式选讲]

23. 实数满足

(1)证明:

(2)证明:

 

 

 


绝密★启用前

2024年普通高等学校招生全国统一考试

全国甲卷理科数学

使用范围:陕西、宁夏、青海、内蒙古、四川

注意事项:

1.答题前,务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上.

2.答选择题时,必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其它答案标号.

3.答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上.

4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效.

5.考试结束后,只将答题卡交回.

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

【1题答案】

【答案】A

【2题答案】

【答案】D

【3题答案】

【答案】D

【4题答案】

【答案】B

【5题答案】

【答案】C

【6题答案】

【答案】A

【7题答案】

【答案】B

【8题答案】

【答案】B

【9题答案】

【答案】C

【10题答案】

【答案】A

【11题答案】

【答案】C

【12题答案】

【答案】C

二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

【13题答案】

【答案】5

【14题答案】

【答案】

【15题答案】

【答案】64

【16题答案】

【答案】

三、解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17题~第21题为必考题,每个考题考生必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.

(一)必考题:共60分.

【17题答案】

【答案】(1)答案见详解   

(2)答案见详解

【18题答案】

【答案】(1)   

(2)

【19题答案】

【答案】(1)证明见详解;   

(2)

【20题答案】

【答案】(1)   

(2)证明见解析

【21题答案】

【答案】(1)极小值为,无极大值.   

(2)

(二)选考题:共10分,请考生在第22、23题中任选一题作答,并用2B铅笔将所选题号涂黑,多涂、错涂、漏涂均不给分,如果多做,则按所做的第一题计分.

[选修4-4:坐标系与参数方程]

【22题答案】

【答案】(1)   

(2)

[选修4-5:不等式选讲]

【23题答案】

【答案】(1)证明见解析   

(2)证明见解析

 

 

 

 

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