专题:
向量的运算法则有：1、向量的加法；2、向量的减法；3、数乘向量；4、向量的数量积；5、向量的向量积；6、三向量的混合积。向量是线性代数中非常重要的概念之一，向量的运算是线性代数中的重要内容。
向量的加减法运算法则
一、向量的加法
向量的加法是指将两个向量相加得到一个新向量的运算。向量的加法满足交换律和结合律。
1. 两向量相加的定义：
设向量a和向量b的起点相同，分别为点O，终点分别为点P和点Q，则向量a和向量b的和向量c为：c=a+b，其起点为点O，终点为点R，R为向量a和向量b的终点所在的点。
2. 向量的加法满足交换律和结合律：
交换律：a+b=b+a
结合律：(a+b)+c=a+(b+c)
二、向量的减法
向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新向量的运算。向量的减法也满足交换律和结合律。
1. 两向量相减的定义：
设向量a和向量b的起点相同，分别为点O，终点分别为点P和点Q，则向量a和向量b的差向量c为：c=a-b，其起点为点O，终点为点R，R为向量a和向量-b的终点所在的点。
2. 向量的减法满足交换律和结合律：
交换律：a-b=-(b-a)
结合律：(a-b)+c=a-(b-c)
向量的运算的所有公式详解
1、向量的加法：
向量的加法：
向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
向量的加法OB+OA=OC。
a+b=(x+x',y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律：
交换律：a+b=b+a；
结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的减法：
如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量为0。
向量的减法：
AB-AC=CB.即“共同起点,指向被向量的减法减”
a=(x,y)b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y')。
3、数乘向量：
实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。
当λ＞0时，λa与a同方向；
向量的数乘：
当λ＜0时，λa与a反方向；
向量的数乘当λ=0时，λa=0，方向任意。
当a=0时,对于任意实数λ，都有λa=0。
注：按定义知，如果λa=0,那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
当∣λ∣＞1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；
当∣λ∣＜1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或××反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。
数与向量的乘法满足下面的运算律：
结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb).
向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.
数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.
数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b.② 如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ.
4、向量的数量积：
定义：已知两个非零向量a,b.作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π.
定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量,记作a·b.若a、b不共线,则a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉；若a、b共线,则a·b=+-∣a∣∣b∣.
向量的数量积的坐标表示：a·b=x·x'+y·y'.
向量的数量积的运算律：
a·b=b·a（交换律）；
(λa)·b=λ(a·b)(关于数乘法的结合律)；
（a+b)·c=a·c+b·c（分配律）；
向量的数量积的性质：
a·a=|a|的平方.
a⊥b 〈=〉a·b=0.
|a·b|≤|a|·|b|.（该公式证明如下：|a·b|=|a|·|b|·|cosα| 因为0≤|cosα|≤1,所以|a·b|≤|a|·|b|）
向量的数量积与实数运算的主要不同点：
1、向量的数量积不满足结合律,即：(a·b)·c≠a·(b·c)；例如：(a·b)^2≠a^2·b^2.
2、向量的数量积不满足消去律,即：由 a·b=a·c (a≠0),推不出 b=c.
3、|a·b|≠|a|·|b|
4、由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b.
5、向量的向量积：
定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量,记作a×b（这里并不是乘号,只是一种表示方法,与“·”不同,也可记做“∧”）.若a、b不共线,则a×b的模是：∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a,b〉；a×b的方向是：垂直于a和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系.若a、b共线,则a×b=0.
向量的向量积性质：
∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积.
a×a=0.
a垂直b〈=〉a×b=|a||b|.
向量的向量积运算律：
a×b=-b×a；
（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）；
a×（b+c）=a×b+a×c.
注：向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的.
6、三向量的混合积：
向量的混合积：
定义：给定空间三向量a、b、c,向量a、b的向量积a×b,再和向量c作数量积(a×b)·c,
向量的混合积所得的数叫做三向量a、b、c的混合积,记作(a,b,c)或(abc),即(abc)=(a,b,c)=(a×b)·c。